Tratado de la Naturaleza Humana (8 page)

Yo pregunto a los matemáticos qué entienden al decir que una línea o superficie es igual a otra o mayor o menor que otra. Haced que alguno de ellos responda, sea cualquiera la secta a que pertenezca, y mantenga la composición de la extensión por puntos indivisibles o por cantidades divisibles al infinito; la respuesta lo embarazará en ambos casos.

Hay pocos matemáticos que defiendan la hipótesis de los puntos indivisibles, y éstos tienen la respuesta más fácil y exacta para la presente cuestión. Necesitan tan sólo replicar que las líneas o superficies son iguales cuando el número de puntos de cada una es igual al de la otra, y que como la proporción de los números varía, varía también la proporción de las líneas y las superficies. Pero aunque esta respuesta es tan precisa como manifiesta, puedo afirmar que su criterio de igualdad es completamente inútil y que jamás determinamos por una comparación tal que los objetos sean iguales o desiguales con respecto los unos de los otros, pues como los puntos que entran en la composición de una línea o superficie, ya se perciban por la vista o el tacto, son tan diminutos y se confunden tanto los unos con los otros que es totalmente imposible para el espíritu contar su número, una numeración tal jamás nos aportará un criterio para que podamos juzgar de las proporciones. Nadie será capaz de determinar, por una exacta enumeración, que una pulgada tiene cinco puntos más que un pie o un pie cinco menos que un codo, o una medida mayor, por cuya razón rara vez o nunca consideramos esto como el criterio de igualdad o desigualdad.

Igualmente es imposible a los que imaginan que la extensión es divisible al infinito hacer uso de esta respuesta o fijar la igualdad de una línea o superficie por la enumeración de sus partes componentes, pues dado que, según su hipótesis, tanto la más pequeña como la más grande figura contiene un número infinito de partes, y dado que los números infinitos, propiamente hablando, no pueden ser iguales o mayores los unos con respecto de los otros, la igualdad o desigualdad de una porción del espacio no puede jamás depender de una relación del número de sus partes.

Es cierto, puede decirse, que la desigualdad de un codo y de una yarda consiste en los diferentes números de pies de los cuales están compuestos, y la de un pie y una yarda, en el número de pulgadas; pero como la cantidad que llamamos una pulgada en la una se supone igual a la que llamamos una pulgada en la otra y es imposible para el espíritu hallar esta igualdad, procediendo en el infinito con esta referencia a cantidades inferiores, es evidente que, por último, debemos fijar algún criterio de igualdad diferente de la enumeración de las partes.

Hay algunos que pretenden que la igualdad se define mejor por la ia y que dos figuras son iguales cuando colocando la una sobre la otra todas sus partes se corresponden y tocan entre sí. Para juzgar de esta definición consideremos que, puesto que la igualdad es una relación, no es, propiamente hablando, una propiedad de las figuras mismas, sino que surge meramente por la comparación que el espíritu hace entre ellas. Si consiste, por consiguiente, en esta aplicación y contacto mutuo de las partes, imaginario, debemos al menos tener una distinta noción de estas partes y debemos concebir su contacto. Ahora bien; es claro que, según esta concepción, deberíamos recorrer estas partes hasta las más pequeñas que puedan ser concebidas, puesto que el contacto de partes grandes jamás haría iguales a las figuras; pero las partes más diminutas que podemos concebir son los puntos matemáticos y, por consecuencia, el criterio de igualdad es el mismo que hemos derivado de la igualdad del número de puntos que ya determinamos, que era exacto, pero inútil.

Por consiguiente, debemos buscar en alguna otra parte, la solución de las dificultades presentes.

Existen muchos filósofos que rehúsan indicar un criterio de igualdad, pero afirman que es suficiente presentar dos objetos que son iguales para darnos una idea precisa de su relación. Todas las definiciones, dicen, son infecundas sin la percepción de objetos tales, y cuando percibimos objetos tales no necesitamos ninguna definición. Estoy enteramente de acuerdo con este razonamiento y afirmo que la única noción útil de igualdad o desigualdad se deriva de la apariencia total y de la comparación de los objetos particulares.

Es evidente que la vista, o más bien el espíritu, es capaz frecuentemente de determinar de un golpe las proporciones de los cuerpos y declararlos iguales, o más grandes o pequeños los unos con respecto de los otros, sin examinar o comparar el núo de sus partes diminutas. Juicios tales no sólo son corrientes, sino también en muchos casos infalibles y ciertos. Cuando se presentan la medida de una yarda y la de un pie, el espíritu no pone ya en cuestión más que la primera es más larga que la segunda que puede dudar de los principios que son más claros y evidentes.

Existen, pues, tres relaciones que el espíritu distingue en la aparición general de los objetos y que designa por los nombres de más grande, más pequeño e igual. Sin embargo, aunque sus decisiones con respecto a estas relaciones sean a veces infalibles, no lo son siempre y no se hallan nuestros juicios de este género más exentos de duda y error que los referentes a otro asunto. Corregimos frecuentemente nuestra opinión por la revisión y reflexión y declaramos que son iguales objetos que a primera vista habían sido estimados desiguales, y estimamos un objeto menor aunque antes nos había parecido mayor que otro. No es ésta la única corrección a que se hallan sometidos estos juicios de nuestros sentidos, sino que frecuentemente descubrimos nuestro error por una yuxtaposición de los objetos o cuando es impracticable por el uso de alguna medida común e invariable que, aplicándose sucesivamente a cada uno, nos informa de sus diferentes relaciones. Aun esta corrección es susceptible de una nueva corrección y de diferentes grados de exactitud, según la naturaleza del instrumento por el que medimos los cuerpos y el cuidado que ponemos en la comparación.

Cuando el espíritu, pues, está acostumbrado a estos juicios y a sus correcciones y halla que la misma relación que hace que dos figuras tengan para la vista la apariencia que llamamos igualdad hace que se correspondan la una a la otra y a una medida común con la que son comparadas, nos formamos una noción mixta de la igualdad derivada a la vez de los métodos interminados y estrictos de comparación.

Pero no nos contentamos con esto, pues una sólida razón nos convence de que existen cuerpos que son mucho más diminutos que los que aparecen a nuestros sentidos, y como una falsa razón nos persuadiría de que existen cuerpos infinitamente más diminutos, percibimos claramente que no poseemos ningún instrumento o arte para medir que nos pueda asegurar contra nuestro error e incertidumbre. Nos damos cuenta de que la adición o substracción de una de estas partes diminutas no es discernible ni en la apariencia ni en la medida, y como imaginamos que dos figuras que eran iguales antes no pueden ser iguales después de esta substracción o adición, suponemos imaginariamente algún criterio de igualdad por el que las apariencias y medidas son corregidas exactamente y las figuras reducidas enteramente a esta relación. El criterio es claramente imaginario, pues como la verdadera idea de igualdad es la de una apariencia tal corregida por yuxtaposición o medida común, la noción de una corrección ulterior a la que podemos hacer por tener instrumentos y arte para ello es una mera ficción del espíritu y tan inútil como incomprensible. Pero aunque este criterio sea solamente imaginario, la ficción, sin embargo, es muy natural y no hay nada más natural para el espíritu que proceder de este modo en una acción aun después que la razón que la determinó a comenzarla ha cesado. Esto aparece de un modo muy notable con respecto al tiempo en el que, aunque es evidente que no tenemos un método exacto para determinar las relaciones de las partes ni aun tan exacto como en la extensión, sin embargo, las varias correcciones de nuestras medidas y sus diferentes grados de exactitud nos han dado una noción obscura e implícita de una igualdad perfecta y total. Sucede lo mismo con otros muchos asuntos. Un músico, hallando que su oído se hace cada día más delicado y corrigiéndose a sí mismo con la reflexión y atención, procede con el mismo acto del espíritu, aun cuando el asunto no lo permite, y abriga la idea de una tercera y una octava perfecta sin ser capaz de decir de dónde deriva este criterio. Un pintor se forma la misma ficción con respecto a los colores; un mecánico, con respecto al movimiento. Para el uno, luz y sombra; para el otro, rapidez y lentitud parecen ser capaces de una comparación exacta e igualdad rigurosa más allá de los juicios de los sentidos.

Podemos aplicar el mismo razonamiento a las líneas curvas y rectas. Nada es más manifiesto para los sentidos que la distinción entre línea recta y curva, y no existen ideas que podamos formarnos más fácilmente que las de estos objetos. Sin embargo, a pesar de que podamos formarnos tan fácilmente estas ideas, es imposible dar una definición de ellas que fije sus límites precisos. Cuando, trazamos líneas sobre un papel o una superficie continua existe un cierto orden, según el cual las líneas pasan de un punto a otro de modo que pueden producir la impresión total de una línea curva, o recta; pero este orden es totalmente desconocido y no es observado más que la apariencia unitaria. Así, aun basándonos en el sistema de los puntos indivisibles, podemos tan sólo formarnos una noción remota de algún criterio onocido para estos objetos. Basándonos en la noción de la infinita divisibilidad no podemos ir tan lejos, sino que nos hallamos reducidos meramente a la apariencia general como regla por la que determinamos que las líneas son curvas o rectas.

Aunque no podemos dar una definición perfecta de estas líneas ni producir un méo exacto para distinguir las unas de las otras, esto no nos impide, sin embargo, corregir la primera apariencia por una consideración más exacta y por la comparación con alguna regla de cuya exactitud tenemos una mayor seguridad mediante repetidos ensayos. Partiendo de estas correcciones y progresando con la misma ión del espíritu, aun cuando su razón no existe, nos formamos la idea independiente de un criterio perfecto de estas figuras, sin ser capaces de explicarlo o comprenderlo.

Es cierto que los matemáticos pretenden dar una definición exacta de la línea recta cuando dicen que la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos; pero, en primer lugar, observo que esto es más propiamente el descubrimiento de una de las propiedades de la línea recta que una definición de la línea recta. Pues pregunto que si al mencionar la línea recta no se piensa inmediatamente en una tal aparición particular y sí sólo por accidente, ¿no se considera esta propiedad? Una línea recta puede comprenderse por sí sola; pero esta definición es ininteligible sin una comparación con otras líneas que concebimos ser más extensas. En la vida corriente está establecido como una máxima que el camino más derecho es el más corto, lo que sería tan absurdo como decir que el camino más corto es el más corto si nuestra idea de línea recta no fuera diferente del camino más corto entre dos puntos.

Segundo: repito lo que ya he establecido, a saber: que no tenemos una idea precisa de la igualdad o desigualdad de más corto o más largo que de la línea recta o curva, y, por consecuencia, que lo uno jamás puede proporcionarnos un criterio perfecto para lo otro. Una idea exacta jamás puede construirse sobre otras tan inconexas e indeterminadas.

La idea de una superficie plana es tan poco susceptible de un criterio preciso como la de línea recta, y no tenemos más medios para distinguir una superficie de este género que su apariencia general. En vano los matemáticos representan una superficie plana como producida por el movimiento de una línea recta. Se objetará en seguida que nuestra idea de superficie es tan independiente de este modo de formar una superficie como nuestra idea de la elipse lo es de la de un cono; que la idea de una línea recta no es más precisa que la de una superficie plana; que una línea recta puede moverse irregularmente y por este medio formar una figura muy diferente de un plano, y que, por consiguiente, debemos suponer que se; mueve a lo largo de dos líneas paralelas entre sí y en el mismo plano, lo que es una descripción que explica una cosa por sí misma y se mueve en un círculo.

Resulta, pues, que las ideas que son más esenciales a la geometría, a saber: las de igualdad y desigualdad de línea recta y superficie plana, se hallan muy lejos de ser exactas y determinadas según nuestro modo común de concebirlas. No solamente somos incapaces de decir, si el caso es dudoso, cuándo figuras particulares son iguales, cuándo una línea es recta y cuándo una superficie es plana, sino que no podemos formarnos una idea de la relación o de estas figuras que sea firme o invariable.

Apelamos al juicio débil y falible que pronunciamos acerca de la apariencia de los objetos y lo corregimos por un compás o una medida corriente, y si unimos el supuesto de una corrección ulterior, ésta es de un género tal que resulta inútil o imaginaria. En vano recurriremos al tópico común y emplearemos el supuesto de una divinidad cuya omnipotencia pueda capacitarla para formar una figura geométrica perfecta y trazar una línea recta sin ninguna curva o inflexión. Como el último criterio de estas figuras no se deriva más que de los sentidos y la imaginación, es absurdo hablar de una perfección más allá de lo que estas facultades pueden juzgar, pues la verdadera perfección de algo consiste en su conformidad con su criterio.

Ahora bien; ya que estas ideas son tan inconexas e inciertas, preguntaría gustoso a los matemáticos qué seguridad infalible tienen, no sólo de las más complicadas y obscuras de su ciencia, sino también de los principios más vulgares y corrientes. Por ejemplo: ¿Cómo pueden probarme que dos líneas rectas no tienen un segmento ún, o que es imposible trazar más de una línea recta entre dos puntos? Si me dijesen que estas opiniones son manifiestamente absurdas y que repugnan a nuestras ideas claras, respondería que no negaré que cuando dos líneas se inclinan la una sobre la otra formando un ángulo perceptible, es absurdo imaginar que tienen un segmento común; pero si suponemos que estas dos líneas se aproximan a razón de una pulgada cada veinte leguas, no encuentro absurdo alguno en afirmar que después de su contacto se conviertan en una; pues yo ruego se me diga por qué regla o criterio se juzga cuando se afirma que la línea en que he supuesto que se funden no puede formar una línea recta con las dos que forman un ángulo tan pequeño entre ellas. Se debe poseer, seguramente, una idea de la línea recta con la que esta línea no concuerda. Se entiende, por consiguiente, que no toma sus puntos en el mismo orden y según la misma regla que es peculiar y esencial a la línea recta. Si así es, diré que, aparte de que al juzgar de este modo se concede que la extensión está compuesta de puntos indivisibles (lo que es quizá más de lo que se pretende), no es éste el criterio según el que se forma la idea de una línea recta, y que, si lo fuese, no existe una firmeza tal en nuestros sentidos e imaginación que pueda determinar cuándo este orden se halla mantenido o violado. El modelo original de una línea recta no es en realidad mas que una cierta apariencia general, y es evidente que las líneas rectas deben ser obligadas a coincidir unas con otras y a corresponder con su modelo, aunque sean corregidas por todos los medios practicables o imaginables.